Question

龟兔赛跑问题：人的逻辑推理有可能出现问题吗？

乌龟和兔子赛跑：
设定路线为直线跑道
乌龟速度为A 兔子速度为B 其中 B＞A
兔子让乌龟先跑到点C时才从起点开始追击
照此推断如果兔子要追上乌龟势必是在点C后的某一点才有可能追上乌龟
假设经过时间D都兔子跑到了点C 但在时间D这段时间里乌龟又从点C跑到了点E
照此推断如果兔子要追上乌龟势必是在点E后的某一点才有可能追上乌龟
假设经过时间F后兔子从点C跑到了点E 在时间F这段时间里乌龟又从点E跑到了点G
如此继续推断下去兔子永远也不可能追上乌龟了？
从推断本身来说请问此推断哪里出了问题？

Answer 1

这个是有名的悖论：阿基里斯与龟....
我把解释摘录如下：
阿基里斯(Achilles)悖论 阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！ “乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。 ” 如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的" 1-0.999...>0"思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1-0.999...=0, 但1-0.999...>0"思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999...=0, 或1-0.999...>0"思想。 有人解释道：若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。 芝诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟，跑步者肯定也能跑到终点。 类似阿基里斯追上海龟之类的追赶问题，我们可以用无穷数列的求和，或者简单建立起一个方程组就能算出所需要的时间，那么既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上乌龟呢？然而问题出在这里：我们在这里有一个假定，那就是假定阿基里斯最终是追上了乌龟，才求出的那个时间。但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。上面说到无穷个步骤是难以完成。 以上初等数学的解决办法，是从结果推往过程的。悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差甚远，在于这个芝诺与我们采取了不同的时间系统。人们习惯于将运动看做时间的连续函数，而芝诺的解释则采取了离散的时间系统。即无论将时间间隔取的再小，整个时间轴仍是由有限的时间点组成的。换句话说，连续时间是离散时间将时间间隔取为无穷小的极限。 其实这归根到底是一个时间的问题。譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m。实际情况是阿基里斯必然会在100/9秒之后追上乌龟。按照悖论的逻辑，这100/9秒可以无限细分，给我们一种好像永远也过不完的印象。但其实根本不是如此。这就类似于有1秒时间，我们先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去我们永远都过不完这1秒，因为无论时间再短也可无限细分。但其实我们真的就永远也过不完这1秒了吗？显然不是。尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但其实时间的流动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，其实加起来只是个常数而已，也就是1秒。所以说，芝诺的悖论是不存在的。

Answer 2

这个是数学史上有名的芝诺悖论
芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。
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兔子永远追不上乌龟

兔子跑的比乌龟快，但如果让乌龟先跑，兔子将永远不可能追上乌龟。证明如下：
假设兔子的速度是A，乌龟的速度是B，乌龟先跑出L米远，则兔子追上L米所需的时间是t=L / A。此时，乌龟又跑出了t * B米远。兔子追上这段新拉开的距离需要花费t1 = (t * B) / A，则乌龟又落下兔子t1 * B米远。显然，兔子总是要花时间才能追上它和乌龟之间的距离，而在这段时间里它与乌龟之间又会产生新的距离。所以，兔子永远追不上乌龟。

参考资料： http://zhidao.baidu.com/question/21323516.html

Answer 3

这是个老问题了，网上有很多种解释，我说说我的想法，
他做的过程就是把兔子追上乌龟前的时间段，无限缩小
比如兔子追乌龟需要10秒，到C点用了5秒，到E点用了2秒，到，到G点用了1秒，时间被越缩越短，但是这些全部的时间加起来5+2+1+。。。。。都达不到10秒，那么自然在这种划分时间的情况下，就追不到乌龟了。但是实际兔子是可以追上乌龟的，只要时间按照我们正常的情况来运作。

举例就是，让你从北京C到上海XX，从北京C出发让你坐飞机，走了一段到D说飞机没油了，换更慢的火车，走了一段到E，车没电了，换汽车，走了一段到F，车没牌照让交警扣了，换自行车，走了一段到G自行车丢了，换走路，走了一段到H，鞋漏了。人还是可以走下去，但是走的速度越来越慢这种方式下就是永远也到不了上海了。这里的交通工具的就是兔子乌龟例子中的时间.工具越走越慢，时间越划越小，自然在这种划分下就追不上了。

Answer 4

一开始的假设错误，另外题设条件却失，缺失目的地的设置问题，
情况一、如果没有目的地，那么根据速度b大于a，所以在c点后的某一点，兔子一定能追上乌龟，
情况二、如果目的地距离c点很近，距离兔子位置很远，我们极限化，乌龟跑一步就到达目的地，这样，兔子永远不能追上乌龟，除非兔子会瞬间移动。
情况三、目的地距离c点有一定距离或很远，我们极限化，那个距离是世界的尽头，就回到情况一了，兔子一定能够追上。
所以逻辑错误在，1.题设缺少条件
2.假设有错误
3.假设不全面

Answer 5

阿奇里斯悖论
“ 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。 ”
—亚里士多德, 物理学

如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的"1>0.999..., 1-0.999...>0"思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1=0.999..., 但1-0.999...>0"思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999...=0, 或1-0.999...>0"思想。 譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m。追乌龟要涉及到极限问题:t=lim(n->∞)(1/2+1/4+....1/ n)=1，而极限是个无限过程，这涉及到潜无限问题，即无限过程无法完成，即1只能无限逼近，不能达到1，乌龟是追不上的。为此，潜无限只能假设空间不可以无限分割，这样悖论就不存在了。但实无限认为，无限过程可以完成，即极限可以达到1，乌龟可以追上，无限过程怎么完成，凭信仰.我们的实数，极限，微积分都建立上实无限上，对潜无限来说，实数，极限等都不成立，只能无限逼近

游行队伍悖论
首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。

□□□□ 观众席A
■■■■ 队列B・・・向右移动（→）
▲▲▲▲ 队列C・・・向左移动（←）
B、C两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席A，B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。

□□□□
■■■■
▲▲▲▲
而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。

（四个悖论的叙述引自K.克莱茵(K.Klein)《古今数学思想》中译本，BillSmith对第四个悖论的原文作了修改以说得更清楚些。）