Question

已知f（x）=a/a²-1（a＾x-1/a＾x）（1）判断并证明其单调性（2）对定义在（-1，1）内函数f（x），若f

（2）对定义在（-1，1）内函数f（x），若f（1-m）+f（1-m²）＜0（3）当x 属于（-无穷大，2）时，关于x的不等式f（x）-4＜0恒成立，求a的取值范围

Answer 1

1）a^x为指数函数，a>0且不等于1
对于任意的x1>x2
f(x1)-f(x2)
=(a/a²-1)（a＾x1-1/a＾x1）-(a/a²-1)（a＾x2-1/a＾x2）
=(a/a²-1)[a＾x1-1/a＾x1-a＾x2+1/a＾x2]
=(a/a²-1)[a＾x1-a＾x2+1/a＾x2-1/a＾x1]
=(a/a²-1)[（a＾x1-a＾x2）
+(a＾x1-a＾x2)/a＾(x1+x2)]
=(a/a²-1)（a＾x1-a＾x2）[1+1/a＾(x1+x2)]
因为[1+1/a＾(x1+x2)]>0
当a>1时，(a/a²-1)>0且（a＾x1-a＾x2）>0,=(a/a²-1)（a＾x1-a＾x2）>0
即f(x1)-f(x2)>0 单调递增
当0<a<1时，(a/a²-1)<0且（a＾x1-a＾x2）<0,则(a/a²-1)（a＾x1-a＾x2）>0
即f(x1)-f(x2)>0 单调递增
综合f（x）单调递增
2）可以验证 f（-x）=-f(x)奇函数
f（1-m）+f（1-m²）＜0
则f（1-m）-f（m²-1）＜0
即f（1-m）<f（m²-1）
单调递增，则1-m<m^2-1
解得m>1或m<-2
又-1<1-m<1 ,-1<m^2-1<1

Answer 2

h rht