Question

已知抛物线ax^2+bx+c的顶点坐标E(1,0),与y轴交点坐标为(0,1)。

（1），求抛物线的函数关系式。（y=x^2-2x+1）
（2），A.B是x轴上2个动点，AB距离为4，作AD垂直x轴，BC垂直x轴交抛物线于D,C，设A坐标（t,0）,四边形ABCD面积为S。
1。求S与t的函数关系式，并求出当S最小时，ABCD是什么四边形？
2。当S最小时，在对角线BD上找一点P，是三角形PAE的周长最小，求P的坐标。

Answer 1

解:
(1) 因为 顶点坐标E(1,0)
设 y=A(x-1)^2
因为 函数经过(0,1)
所以 1=A(0-1)^2
解得:A=1
所以 y=(x-1)^2
即 y=x^2-2x+1
(2) 若 点A(t,0)
则 点B(t+4,0)
所以 点D(t,y)
y=(t-1)^2
点D(t,(t-1)^2)
同理 点C(t+4,(t+4-1)^2)
即 (t+4,(t+3)^2)
因为 ABCD为等腰梯形
且 ABCD的面积为S
所以 S=((t-1)^2+(t+3)^2)*4/2
即 S=4(t+1)^2+16
当 t=-1时,S的值最小
所以 Smin=4
点D(-1,4)
点C(3,4)
所以 CD平行与x轴
AD=AB=4
因为 AD平行与BC
AD垂直与x轴
所以 ABCD为正方形

过直线BD作点E的对称点点F
直线BD函数为y=-x+3
所以 EF的斜率k=1
直线EF函数为y=x-1
所以 EF与BD的交点为(2,1)
所以 EF与BD的距离的平方
d^2=(2-1)^2+(1-0)^2=2
因为 点F(x,x-1)
所以 d^2=(x-2)^2+(x-1-1)^2
即 2=(x-2)^2+(x-1-1)^2
解得:x1=3 x2=1
所以 点F(3,2)
所以直线AF函数为y=x/2+1/2
所以 AF与BD的交点点P(11/3,4/3)