Question

已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，lim（a1/(1+q)-q^n)=1/2,求a1的取值范围

Answer 1

可以分三种情况考虑：

当q=1的时候，则数列｛an｝是常数列，则lim（a1/(1+q)-q^n)=lim a1/2-1=a1/2-1

则由题目lim（a1/(1+q)-q^n)=1/2可知a1=3

当q>1的时候，因为lim q^n=无穷大，所以lim（a1/(1+q)-q^n)=-无穷，跟题目矛盾

当0<q<1的时候，因为lim q^n=0，则lim（a1/(1+q)-q^n)=a1/(1+q),因为lim（a1/(1+q)-q^n)=1/2，所以a1/(1+q)=1/2,即a1=(1+q)/2,由于0<q<1，则1<q+1<2,1/2<(1+q)/2<1,则1/2<a1<1

综上，1/2<a1<1或a1=3

Answer 2

lim（a1/(1+q)-q^n)=1/2
所以0<q<1 否则极限为负无穷
得lim（a1/(1+q)-q^n)=lim[a1/(1+q)]=a1/(1+q)=1/2
q=2a1-1
那么0<2a1-1<1
得1/2<a1<1

特别的当q=1时，an为常数列
此时lim（a1/(1+q)-q^n)=lim(a1/2-1)=a1/2-1=1/2
得a1=3