Question

noip第13届普及组初赛试题的一题不会，请高手指教

（子集划分）将n个数（1，2，…，n）划分成r个子集。每个数都恰好属于一个子集，任何两个不同的子集没有共同的数，也没有空集。将不同划分方法的总数记为S(n,r)。例如，S(4,2)=7，这7种不同的划分方法依次为{(1),(234)}，{(2),(134)}，{(3),(124)}，{(4),(123)}，{(12),(34)}，{(13),(24)}，{(14),(23)}。当n=6，r=3时，S(6,3)=___90___________。
（提示：先固定一个数，对于其余的5个数考虑S(5,3)与S(5,2)，再分这两种情况对原固定的数进行分析。）
请写出解析，不要只给答案，谢谢

Answer 1

设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由m个非空子集组成的集合。

考虑3个元素的集合，可划分为
① 1个子集的集合：{{1，2，3}}
② 2个子集的集合：{{1，2}，{3}}，{{1，3}，{2}}，{{2，3}，{1}}
③ 3个子集的集合：{{1}，{2}，{3}}
∴F(3,1)=1;F(3,2)=3;F(3,3)=1;

如果要求F(4,2)该怎么办呢？

A.往①里添一个元素{4}，得到{{1，2，3}，{4}}

B.往②里的任意一个子集添一个4，得到
{{1，2，4}，{3}}，{{1，2}，{3，4}}，
{{1，3，4}，{2}}，{{1，3}，{2，4}}，
{{2，3，4}，{1}}，{{2，3}，{1，4}}

∴F(4,2)=F(3,1)+2*F(3,2)＝1+2*3＝7

推广，得F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)