Question

高数方程求根问题

写出具体过程

Answer 1

解：
设：f(x) = x^5 + 2ax^3 + 3bx + 4c

则 f(x) 为定义域：（-∞，+∞）上的连续函数，且：
lim(x->+∞) x^5 + 2ax^3 + 3bx + 4c = +∞
lim(x->-∞) x^5 + 2ax^3 + 3bx + 4c = -∞
故函数f(x)在（-∞，+∞）上至少存在一个实根；

又：
f'(x) = 5x^4 + 6ax^2 + 3b = 5(x^2)^2 + 6a(x^2) + 3b
则由韦达定理：Δ = 36a^2 - 60b = 12(3a^2-5b) < 0
故 f'(x) 在（-∞，+∞）上无实根；

从而由罗尔中值定理，则：
函数f(x)在（-∞，+∞）上至多存在一个实根，
否则必存在 ξ∈（-∞，+∞），使得 f'(ξ) = 0 。

证毕。