Question

设y=f(x)是一次函数,f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列，则f(2)+f(4)+...+f(2n)=?

Answer 1

解：
设一次函数方程y=kx+b
f(0)=1
x=0,y=1代入函数方程，解得b=1
由f(1),f(4),f(13)成等比数列，得
[f(4)]^2=f(1)f(13)
(4k+1)^2=(k+1)(13k+1)
整理，得
k^2-2k=0
k(k-2)=0
k=0或k=2

k=0时，y=1
f(2)+f(4)+...+f(2n)=n
k=2时，y=2x+1
f(2)+f(4)+...+f(2n)
=2(2+4+...+2n)+n
=4(1+2+...+n)+n
=2n(n+1)+n
=2n^2+3n

Answer 2

设f(x)=ax+b
f(0)=1 所以 b=1
f(x)=ax+1
又由题意知(a+1)/(4a+1)=(4a+1)/(13a+1)
13a^2+14a+1=16a^2+8a+1
所以a=2 f(x)=2x+1
f(2)+...f(2n)=n+2(2+4..+2n)
=n+4(1+2+...n)
=n+4*n(n+1)/2
=2n^2+3n