Question

已知函数f(x)=ln(x+1)+ax 1.当x=0 函数有最大值求a 2.求函数单调区间

Answer 1

函数f(x)=ln(x+1)+ax，定义域为（－1，＋∞）.
导函数f′(x)=1/(x+1)+a=(ax+a+1)/(x+1).

（1）由题意，x=0是函数的最大值点，
∵0∈（－1，＋∞），
∴函数f(x)在（－1，0）上为增函数，在（0，＋∞）上为减函数,
∴x=0必为函数的极大值点，
因此，f′(0)=0，得a= -1；

（2）由（1）知a= -1，f(x)=ln(x+1)，定义域为（－1，＋∞）.
导函数f′(x)=1/(x+1)-1= -x/(x+1)，(x>-1).
令f′(x)>0，得-1<x<0，
∴函数f(x)的增区间为(-1，0)；
令f′(x)<0，得x>0，
∴函数f(x)的减区间为(0，＋∞).

Answer 2

一，对f(x)求导，得g(x)=a+1/(x+1)；
显然，g(x)在定义域(-1，无穷)上单调递减；
g(x)=0时，x=x1，则(-1,0]上f(x)单调递增，[x1，无穷)f(x)递减；
f(x)在x1处取得最大值，且x1是唯一的。
由题意知，x=0=x1； a+1=0；a=-1；

二，第一问以给出，
增：(-1,0]
减：[0，无穷)

Answer 3

x+1>0 x>-1

求导y'=1/（x+1）+a
x=0代入上式，要是当x=0时有最大值，则y'=0
解得a=-1
当其单调递增时，y'≥0，-1<x≤0
当其单调递减时，y'≤0，x>0