Question

已知x＞0，y＞0且x+y=5，则lgx+lgy的最大值是多少？

请写易懂的详细过程，谢谢。

Answer 1

令y=5-x，则lgx+lgy=lgx+lg(5-x)=lg[x(5-x)](0<x<5)
x(5-x)=-x^2+5x 对称轴为x=5/2在区间（0,5）
所以当x=5/2时，x(5-x)取得最大值25/4
lg[x(5-x)]即lgx+lgy的最大值为lg25/4=2lg5/2=2(lg5-lg2)

Answer 2

Xy≤[(x+y)/2]²=25/4.
所以lgx+lgy=lg(xy)≤lg(25/4)=lg(100/8)=2-3lg2.