Question

一道初三函数题

已知抛物线y=—x²+（m-2）x+3（m+1）交x轴于A（x1，0），B（x2，0），交y轴的正半轴于C点，且x1＜x2，／x1／＞／x2／，OA²+OB²=2OC+1。
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线。如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）十字相乘，化简得：y=（x+3）（-x+m+1） 得到x1=-3 x2=m+1 把x=0带入得到C点纵坐标为：3m+3 根据OA²+OB²=2OC+1 带入（-3）²+（-x+m+1）²=2（3m+3） 得到m1=3 m2=1 因为／x1／＞／x2／ 所以m=1
解析式为y=—x²-1x+6
（2）C（0,6）设y=kx+b 把点C带入得 y=kx+6
两个方程有交点 联立 —x²-1x+6=kx+6 整理得到—x²-（1+k）x=0
只有一个交点，所以（戴尔它）=0 即（1+k）²=0 所以k=-1
所以直线是y=-x+6