Question

一道数学几何，跪求，会追加

在边长为1的正方形ABCD中，点E在边BC上（与端点不重合）。点F在射线DC上。
（图很简单）
（1）若AF=AE，并设CE=X△AEF面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域
（2）当CE的长为何值，△AEF和△ECF相似？
（3）若CE=1/4，延长FE与直线AB交于点G，当CF的长度为何值时，△EAG是等腰三角形？
F点可以在DC上，不一定在射线上

Answer 1

1、三角形AEF与三角形ECF相似
由于ΔECF是RtΔ，E与端点B、C不重合，F在“射线”DC上，有2种可能：
1）AF⊥EF
此时RtΔADF∽RtΔECF，亦即RtΔADF∽RtΔAEF
通过相似比，设CF=x,CE=y,可以推得：2(1-x)^3=x^2
用待定系数法：(x-0.5)(2-x)^2=0
因为x≤1,故x=0.5,y=x(1-x)=0.25=CE时三角形AEF与三角形ECF相似
2) EF⊥AE
此时RtΔABE∽RtΔECF，亦即RtΔABE∽RtΔAEF
通过相似比，设CF=x,CE=y,可以推得：(1-y)y=x=y/(1-y)
(1-y)^2=1,y=0。因为E不能是BC端点，故没有这样的情况。
2、RtΔAEF∽RtΔAFG
三角形EAG是等腰三角形时，理论上，可以AE=EG，也可以AE=AG，EG=AG
但是，因为AF⊥FG，仅有AE=EG一种情况
AE=EG时，则∠AEF=2∠EAF=∠EAG+∠EGA=60°
AB=BG=1，BE=√3/3,CE=1-√3/3