Question

设A是三角形ABC的一个内角，sinA+cosA=2/3，判断三角形的形状。

Answer 1

sinA+cosA
=√2(√2/2*sinA+√2/2cosA)
=√2(sinAcosπ/4+cosAsinπ/4)
=√2sin(A+π/4)=2/3

0<A<π
则π/4<A+π/4<5π/4
sin(A+π/4)=√2/3<√2/2=sinπ/4=sin3π/4
所以A+π/4<π/4或A+π/4>3π/4

A+π/4<π/4不成立
所以A+π/4>3π/4
A>π/2
所以是钝角三角形

Answer 2

（sinA+cosA）^2 = (2/3)^2
(sinA)^2 + (cosA)^2 + 2sinAcosA = 4/9
2sinAcosA = - 5/9
sin2A = -5/9
有正弦函数图像性质可得
π + nπ < 2A < (3/2)π + nπ
因为 0<A<π
所以 180°< 2A < 270°
则 90°< A < 135°
所以 三角形ABC 为钝角三角形