Question

初二疑难数学题

如图①，△ABC为等边三角形，D为BC上任一点，∠ADE=60°边DE与∠ACB外角的平分线相交于点E．
一求证：AD=DE；
二若点D在CB的延长线上，如图②，一中的结论是否仍然成立？若成立请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

1.在AB上截取AF=CD
因为角ABD=角ADE=60度，根据外角关系，得出角FAD=角EDC
因为AB=BC，且AF=CD
所以AB-AF=BC-CD
即BF=BD
所以三角形BDF为等边三角形，所以
角AFD=角DCE=120度
所以根据ASA
得出三角形AFD全等于 三角形DCE
所以AD=DE，

2.若点D在CB的延长线上（1）的结论任然成立

连接AE:
∵三角形ABC为等边三角形
∴AB=AC;
∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°
∴∠ABD=∠BAC+∠BCA=120°
∵边DE与角ACB外角的平分线相交于点E;
∴∠DCE=1/2*120=60°
∴∠ACE=60+60=120°
∵∠ADE=60°
∴∠ACE+∠ADE=180°
ADEC有外接圆O;
弧CE对应的圆周角∠CDE=∠CAE;
∴∠CAE=∠CDE=60-∠ADC=∠DAB;
∴△ADB≌AEC;
∴AD=AE;∵∠ADE=60°
∴AD=AE=DE