Question

已知X1、X2是方程3X^2-2X-2=0的两根，不解方程，利用前面的结论求下列各式的值：1，1/X1^2+1/x^2; 2题X1X2

已知X1、X2是方程3X^2-2X-2=0的两根，不解方程，利用前面的结论求下列各式的值：1，1/X1^2+1/x^2; 2题X1X2^2+X1^2X2 3题，x1^2+x2^2

Answer 1

1/(x1)² + 1/(x2)²
=[(x1)² + (x2)²]/[(x1)²(x2)²]
=[(x1 + x2)² - 2x1x2]/[(x1)²(x2)²]
因为 x1+x2=-b/a=2/3
x1*x2=c/a = -2/3
所以：
[(x1 + x2)² - 2x1x2]/[(x1)²(x2)²]
=[(2/3)² - 2×(-2/3)] / [(-2/3)²]
=(4/9 + 4/3) /(4/9)
=(16/9) / (4/9)
= 4

X1X2²+X1²X2
=(x1x2)(x1 + x2)
=(-2/3)×(2/3)
=-4/9

x1^2+x2^2
=x1²+2x1x2+x2² - 2x1x2
=(x1+x2)² - 2x1x2
=(2/3)² - 2×(-2/3)
= 4/9 + 4/3
= 16/9

这个题主要考的是ax²+bx+c=0中：
x1+x2=-b/a=2/3
x1*x2=c/a = -2/3

Answer 2

根据根与系数的关系，可知：
x1+x2=2/3,x1x2=-2/3
所以：
第一小问：
1/X1^2+1/x^2=（x1^2+x2^2)/(x1^2x2^2)
=[(x1+x2)^2-2x1x2]/(x1^2x2^2)=4
第二小问：
X1X2^2+X1^2X2=x1x2(x1+x2)=-4/9
第三小问：
x1^2+x2^2 =(x1+x2)^2-2x1x2=16/9