Question

如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，M为弧AC上一点，AM延长线交DC延长线于F点。求证：∠AMD=∠FMC。

Answer 1

连接AD
又∵FM*FA=FC*FD
∴FM/FD=FC/FA
又∵∠F为公共角。
∴△CMF∽△ADF
∴∠ADF=∠FMC
又∵弧AC=弧AD
∴∠AMD=∠ADF （等弧所对圆周角相等）
∴∠AMD=∠FMC

还可以根据
∵∠MCD+∠DAM=180° （圆的内接四边形对角互补）
∴∠MCF=∠DAM （等角的补角相等）
又∵∠F为公共角。
来证明相似，或者直接根据三角形内角和证明 ∠ADF=∠FMC

Answer 2

证明：连接AD，
∵⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD，
∴弧AC=弧AD，
∴∠AMD=∠ADC，
∵A、M、C、D四点共圆，
∴∠FMC=∠ADC（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角），
∴∠AMD=∠FMC．