Question

数学啊数学~！！！...速度啊速度~！！

已知函数f(x)=loga (1-a^x) (其中a>0,a不等于1），求f(x)的定义域和值域：
判断f(x)的单调性 ：证明y=f(x)关于直线y=x对称

Answer 1

这道题需要分类讨论：
首先讨巧的做法：
现将loga转换到等式左面，因为对于等式两边做a^f(x)的操作不影响f(x)的取值范围。
等式变为：a^x+a^y=1
因为 a^x与a^y恒大于零（指数函数的值域恒大于零）
所以嘛，要满足等式那么，
{a^x=1-a^y<1
{
{a^y=1-a^x<1
另，函数单调性，当a^x递增,显然a^y要递减啊。
好，现在开始分类讨论：
当0<a<1时
a^x<1
x>0
同样，y>0
当x递增，a^x递减,a^y递增,所以y递减。

当a>1时
a^x<1
x<0
同样，y<0
当x递增，a^x递增，a^y递减,所以y递减。
证明：
设u=a^x,v=a^y
所以原式为：
u+v=1
u=1-v
显然画图都知道它关于u=v对称
所以y=loga(1-a^x)关于a^x=a^y对称，两边取对数不影响等式
所以关于y=x对称。

传统算法：
当0<a<1时
因为loga的参数要大于零，所以：
1-a^x>0
a^x<1
定义域：x>0
而a^x恒大于零，所以
1-a^x恒小于1
对于loga(0<a<1)，如果参数恒小于1，那么
值域：f(x)>0
单调性：对于a^x为单调递减
所以-a^x单调递增，1-a^x单调递增
对于loga(1-a^x),因为1-a^x单调递增，而0<a<1
loga单调性相反，所以 f(x)单调递减

当a>1时
因为loga的参数要大于零，所以：
1-a^x>0
定义域：x<0
而a^x恒大于零，所以
1-a^x恒小于1
对于loga(a>1)，如果参数恒小于1，那么
值域：f(x)<0
单调性：对于a^x为单调递增
所以-a^x单调递减，1-a^x单调递减
对于loga(1-a^x),因为1-a^x单调递减，而a>1
loga单调性相同，所以 f(x)单调递减

综上
{x>0,f(x)>0 (0<a<1)
{
{x<0,f(x)<0 (a>1)
函数f(x)单调递减 （a>0且a不等于1)

证明：
函数关于y=x对称，就是将函数中的x,y互换后仍是原函数。
即x=loga(1-a^y)
a^x=1-a^y
y=loga(1-a^x)
互换后能变换回原函数，所以f(x)关于y=x对称。

极坐标法：（不知道学了没。。。不过这个证明得清楚）
假设有一点(x',y'=loga(1-a^x'))在函数f(x)上
则这一点的（斜率，距离）坐标为：
(x'/y',√(x^2+y^2))
这一点关于y=x的对称点的（斜率，距离）坐标为：
（y'/x',√(x'^2+y'^2))
转换为直角坐标为：（y',x')
而（y',x')带入f(x)=loga(1-a^x)
左边=x'
右边=loga(1-a^y')=loga(1-a^(loga(1-a^x')))
=loga(1-1+a^x')=x'=左边
所以f(x)关于y=x的对称点恒在f(x)上，f(x)关于y=x对称。

Answer 2

不懂啊！

Answer 3

全体实数，你数学怎么学的？这是最基本的诶。两边同时平方。不改变方向。然后把右边的全部移到左边，用△大于等于零可求a的素质范围

Answer 4

(1)甲:乙:丙=14:12:9
105/(14+12+9)=105/35=3
3*14=42
3*12=36
3*9=27
甲乙丙三个盒中各有42,36,27个球
(2)450/(3-1.5)=300秒

450/(3+1.5)=100秒

300+100=400秒
人往返的总时间为400秒

Answer 5

1，设甲有7X个小球，乙有6X个小球
乙有4Y个小球，丙有3Y个小球
6X=4Y
7X+4Y+3Y=105
解得X=6,Y=9
所以甲有42个，乙有36个，丙有27个
2，通信员追到排头的时间为450/（3-1.5）=300S
通信员回到排尾的时间为450/（3+1.5）=100S
总时间为400S

Answer 6

1，由比值得出甲：乙：丙=14：12：9，设丙9x,乙12X，甲14x，加法，x=3,甲=42，乙=36，丙=27
2，去的时间是450/（3-1.5）=300秒，回得时间450/（3+1.5）=100，一共400秒