Question

在△ABC中,AD⊥BC于D,∠ABC=2∠C,求证:AC^2=AB^2+AB*BC

如图，在△ABC中,AD⊥BC于D,∠ABC=2∠C,求证:AC^2=AB^2+AB*BC。

Answer 1

AC^2=AD^2+CD^2=AB^2-BD^2+CD^2=AB^2+(CD+BD)*(CD-BD)=AB^2+BC*(CD-BD)
下证CD-BD=AB
在CD上选择一点E，使得DE=BD
则AD是△BAE边BE的垂直平分线，所以AB=AE
所以∠ABD=∠AED=2∠C，又因为∠AED=∠EAC+∠C
所以∠C=∠EAC，所以CE=AE，所以CE=AB
所以CD-BD=CD-DE=CE=AB
所以AC^2=AB^2+BC*(CD-BD)==AB^2+BC*AB

Answer 2

AC²=AD²+CD²=AB²-BD²+CD²=AB²+(CD+BD)*(CD-BD)=AB²+BC*(CD-BD)下证CD-BD=AB
在CD上选择一点E，使得DE=BD
则AD是△BAE边BE的垂直平分线，∴AB=AE
∴∠ABD=∠AED=2∠C， 又∵∠AED=∠EAC+∠C
∴∠C=∠EAC，∴CE=AE，∴CE=AB
∴CD-BD=CD-DE=CE=AB
∴AC²=AB²+BC*(CD-BD)==AB²+BC*AB