Question

求助！！高一数学题！

已知函数f（x）=（a的x次方 -1）/（a的x次方 +1）（a＞0且a≠1）
（1） 求f（x）的定义域和值域
（2） 讨论f（x）的奇偶性
（3） 讨论f（x）的单调性

Answer 1

解：

f(x)=[(a^x)-1]/[(a^x)+1]

(1)定义域是分母不为0，即a^x+1≠0，恒成立，

∴定义域是R

f(x)=[(a^x)+1-2]/[(a^x)+1]

=1-{2/[(a^x)+1]}

∵a^x＞0

∴(a^x)+1＞1

2/[(a^x)+1]∈(0,2)

∴f(x)∈(-1,1)

此即值域

(2)f(0)=0

f(-x)=[(1/a^x)-1]/[(1/a^x)+1]=[1-(a^x)]/[1+(a^x)]

-f(x)=[1-(a^x)]/[1+(a^x)]

∴f(-x)=-f(x)

综上，得

f(x)是奇函数

(3)f(x)=1-{2/[(a^x)+1]}

任意取m＞n，则

f(m)-f(n)

=-2/[(a^m)+1]+2/[(a^n)+1]

=2[(a^m)-(a^n)]/{[(a^m)+1][(a^n)+1]}

显然分母{[(a^m)+1][(a^n)+1]}是大于0的，只需要判断(a^m)-(a^n)的正负即可

1)当a＞1时，y=a^x单调递增，a^m＞a^n

此时f(m)＞f(n)，即此时f(x)为增函数

2)当0＜a＜1时，y=a^x单调递减，a^m＜a^n

此时f(m)＜f(n)，即此时f(x)为减函数

谢谢