Question

已知二次函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x

已知二次函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x （1）求f（x）的解析式 （2）求当x属于[0，a]（a为大于0的常数）时f(x)的最小值

Answer 1

1.
设函数方程为f(x)=ax^2+bx+c
由f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x，得
a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c=2x^2-4x
整理，得
(2a-2)x^2+(2b-4)x+2a^2+2c=0
要对定义域上任意x，等式都成立，只有
2a-2=0
2b-4=0
2a^2+2c=0
解得
a=1 b=2 c=-1
二次函数解析式为f(x)=x^2+2x-1

(2)
f(x)=x^2+2x-1=(x+1)^2-2
x属于[0，a]（a为大于0的常数）时,f(x)单调递增
x=0时，有f(x)min=-1

Answer 2

(1)f(x)=x^2-2x-1,自己用待定系数法解出来，设f(x)=ax^2
+bx+c,吧f(x+1)+f(x-1）代入求的a，b,c
(2)因为a不定，所以要讨论a的范围，如下：
0<a<1时,f(x)的最小值=a^2-2a-1
a>=1时,f(x)的最小值=-2

Answer 3

代定系数