a+b+c=1 求证a²+b²+c²>=1/3
展开全部
先证明均值不等式：因为(a-b)^2≥0
即a^2-2ab+b^2≥0
所以2ab≤a^2+b^2
下面开始证明：
a+b+c=1 两边平方
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1
因为
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac≤a^2+b^2+c^2+(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(a^2+c^2)
这一步是根据上面的均值不等式。
右边=3(a^2+b^2+c^2)
左边=1
所以1≤3(a^2+b^2+c^2)
也就是a²+b²+c²>=1/3
即a^2-2ab+b^2≥0
所以2ab≤a^2+b^2
下面开始证明：
a+b+c=1 两边平方
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1
因为
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac≤a^2+b^2+c^2+(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(a^2+c^2)
这一步是根据上面的均值不等式。
右边=3(a^2+b^2+c^2)
左边=1
所以1≤3(a^2+b^2+c^2)
也就是a²+b²+c²>=1/3
本回答由提问者推荐
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
