Question

如图,在正方形ABCD中,AC、BD交于点O,点M是AC上任意一点，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别为E,F

求证：△OEF是等腰直角三角形

Answer 1

四边形ABCD为正方形
∠BAD=90°,∠ABC=90°
AC平分∠BAD,BD平分∠ABC ∠BAM=∠ABO=45°
ME⊥AB
所以△AEM为等腰直角三角形
AE=ME
又ME⊥AB，MF⊥BC，∠B=90°
所以四边形EBFM为矩形
EM=BF
所以AE=BF
正方形对角线互相平分，AO=BO
在△AEO,△BFO中
AE=BF
∠EAO=∠BFO
AO=BO
△AEO≌△BFO(SAS)
OE=OF
∠AOE=∠BOF
正方形对角线互相垂直，
∠AOB=90°
∠AOB-∠AOE+∠BOF=90°
∠EOF=90°
OE=OF
△OEF是等腰直角三角形