Question

奇函数f(x)偶函数g(x),满足f(x)+g(x)=a^x,求证f(2x)=2f(x)g(x)

Answer 1

f(x)+g(x)=a^x,……①
把x换成-x得：f(-x)+g(-x)=a^(-x),
因为奇函数f(x)偶函数g(x),所以-f(x)+g(x)=a^(-x),……②
①＋②得：g(x)=1/2[a^x+ a^(-x)]
从而f(x)= 1/2[a^x-a^(-x)]
∴f(2x)= 1/2[a^(2x)-a^(-2x)],
2f(x)g(x)=2×1/2[a^x-a^(-x)]×1/2[a^x+ a^(-x)]
=1/2[a^x-a^(-x)] [a^x+ a^(-x)] = 1/2[a^(2x)-a^(-2x)],
所以f(2x)=2f(x)g(x)。

Answer 2

用-x代替x得：f(-x)+g(-x)=a的x次方，又由奇偶性得：-f(x)+g(x)=a的(-x)次方；与原式联立求出f(-x),g(x)的函数式，再代入所要证的式子，化简两边即可证。报歉，手机打字慢，符号打不出，就给你提供了思路！