Question

已知函数f(x)=ax²-2ax+3-b(a>0)在[1,3]有最大值5和最小值2,求a,b的值

Answer 1

f(x)=ax²-2ax+3-b
=a(x-1)^2+3-b-a 在x≥1时单调递增
f(x)在[1,3]有最大值5和最小值2
所以f(1)=2 f(3)=5
得3-b-a=2 3a+3-b=5
所以a=3/4 b=1/4

Answer 2

f(x)=ax²-2ax+3-b
=a(x^2-2x+1)+(3-b)/a -a
=a(x-1)^2+(3-b)/a -a
∵a>0
∴当x=1时,f(x)有最小值2
即(3-b)/a -a =2
则当x=3时,f(x)有最大值5
即3a +(3-b)/a=5
解得a=3/4 b=15/16

Answer 3

因为f(x)=ax²-2ax+3-b=a(x-1)^2+3-a-b
又因a>0,所以f(x)在[1,3]上是增函数,故f(x)在[1,3]上的最小值为3-b-a,最大值为3+3a-b
由题设知3-b-a=2且3+3a-b=5
解得a=3/4,b=1/4