Question

高二数学，要过程

已知正数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn=（1/4）(an+1)²，
数列{bn}是首项为1，公比为1/2的等比数列。
（1）求：数列{an}.{bn}的通项公式；
（2）若cn=an·bn，求：数列{cn}的前n项和Tn；
（3)求证：(1/S1)+(1/S2)+(1/S3)+...+(1/Sn)<5/3

Answer 1

（1）为了不造成混乱记a=A （^）表示多少次方
S1=1/4(A1+1)^2得A1=1
Sn=1/4(An+1)^2
Sn-1=1/4(An-1 +1)^2 两式相减得An=1/4[(An+1)^2-(An-1 +1)^2]
化简得(An-1)^2=(An-1 +1)^2 解得An-An-1 =2
所以数列{An}为等差数列。An=2n -1
{bn}为等比数列。所以bn=（1/2）^n-1
（2）Cn=An*bn=（2n -1）*（1/2）^n-1
Tn=1*（1/2）^0 +3*（1/2）^1 +5*（1/2）^2+……+（2n -1）*（1/2）^n-1
1/2Tn=1*（1/2）^1 +3*（1/2）^2 +5*（1/2）^3+……+（2n -3）*（1/2）^n-1 +（2n -1）*（1/2）^n
两式相减得1/2Tn=（1/2）^2+2[(1/2)^1 +(1/2)^2 +(1/2)^3 +(1/2)^n
-1]-（2n -1）*（1/2）^n
=3-4（1/2）^n -（2n -1）*（1/2）^n
=3-（2n +3）*（1/2）^n
所以Tn=6-（2n +3）*（1/2）^n-1
（3） Sn=1/4(An+1)^2 所以Sn=n^2
所以(1/S1)+(1/S2)+(1/S3)+...+(1/Sn)=(1/1^2)+(1/2^2)+(1/3^2)+...+(1/n^2)
第一与二项不动 从第三项开始
(1/3^2）<1/（3^2 -1）=1/2 *(1/2 -1/4)
(1/4^2）<1/（4^2 -1）=1/2 *(1/3 -1/5)
(1/5^2）<1/（5^2 -1）=1/2 *(1/4 -1/6)
……
(1/n-1^2）<1/（n-1^2 -1）=1/2 *[1/（n-2） -1/n]
(1/n^2）<1/（n^2 -1）=1/2 *[1/（n-1） -1/n+1]
(1/1^2)+(1/2^2)+(1/3^2)+...+(1/n^2)<1+1/4+1/2(1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6+……+1/（n-2） -1/n+1/（n-1） -1/n+1)
=5/4+1/2(1/2+1/3-1/n-1/(n+1))
<5/4+1/2 *6/5
=5/3
即(1/S1)+(1/S2)+(1/S3)+...+(1/Sn)<5/3 得证

打这个都打了好久，真的辛苦类