高二数学,要过程
已知正数列{an}的前n项和为Sn,且有Sn=(1/4)(an+1)²,数列{bn}是首项为1,公比为1/2的等比数列。(1)求:数列{an}.{bn}的通项公...
已知正数列{an}的前n项和为Sn,且有Sn=(1/4)(an+1)²,
数列{bn}是首项为1,公比为1/2的等比数列。
(1)求:数列{an}.{bn}的通项公式;
(2)若cn=an·bn,求:数列{cn}的前n项和Tn;
(3)求证:(1/S1)+(1/S2)+(1/S3)+...+(1/Sn)<5/3 展开
数列{bn}是首项为1,公比为1/2的等比数列。
(1)求:数列{an}.{bn}的通项公式;
(2)若cn=an·bn,求:数列{cn}的前n项和Tn;
(3)求证:(1/S1)+(1/S2)+(1/S3)+...+(1/Sn)<5/3 展开
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(1)为了不造成混乱记a=A (^)表示多少次方
S1=1/4(A1+1)^2得A1=1
Sn=1/4(An+1)^2
Sn-1=1/4(An-1 +1)^2 两式相减得An=1/4[(An+1)^2-(An-1 +1)^2]
化简得(An-1)^2=(An-1 +1)^2 解得An-An-1 =2
所以数列{An}为等差数列。An=2n -1
{bn}为等比数列。所以bn=(1/2)^n-1
(2)Cn=An*bn=(2n -1)*(1/2)^n-1
Tn=1*(1/2)^0 +3*(1/2)^1 +5*(1/2)^2+……+(2n -1)*(1/2)^n-1
1/2Tn=1*(1/2)^1 +3*(1/2)^2 +5*(1/2)^3+……+(2n -3)*(1/2)^n-1 +(2n -1)*(1/2)^n
两式相减得1/2Tn=(1/2)^2+2[(1/2)^1 +(1/2)^2 +(1/2)^3 +(1/2)^n
-1]-(2n -1)*(1/2)^n
=3-4(1/2)^n -(2n -1)*(1/2)^n
=3-(2n +3)*(1/2)^n
所以Tn=6-(2n +3)*(1/2)^n-1
(3) Sn=1/4(An+1)^2 所以Sn=n^2
所以(1/S1)+(1/S2)+(1/S3)+...+(1/Sn)=(1/1^2)+(1/2^2)+(1/3^2)+...+(1/n^2)
第一与二项不动 从第三项开始
(1/3^2)<1/(3^2 -1)=1/2 *(1/2 -1/4)
(1/4^2)<1/(4^2 -1)=1/2 *(1/3 -1/5)
(1/5^2)<1/(5^2 -1)=1/2 *(1/4 -1/6)
……
(1/n-1^2)<1/(n-1^2 -1)=1/2 *[1/(n-2) -1/n]
(1/n^2)<1/(n^2 -1)=1/2 *[1/(n-1) -1/n+1]
(1/1^2)+(1/2^2)+(1/3^2)+...+(1/n^2)<1+1/4+1/2(1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6+……+1/(n-2) -1/n+1/(n-1) -1/n+1)
=5/4+1/2(1/2+1/3-1/n-1/(n+1))
<5/4+1/2 *6/5
=5/3
即(1/S1)+(1/S2)+(1/S3)+...+(1/Sn)<5/3 得证
打这个都打了好久,真的辛苦类
S1=1/4(A1+1)^2得A1=1
Sn=1/4(An+1)^2
Sn-1=1/4(An-1 +1)^2 两式相减得An=1/4[(An+1)^2-(An-1 +1)^2]
化简得(An-1)^2=(An-1 +1)^2 解得An-An-1 =2
所以数列{An}为等差数列。An=2n -1
{bn}为等比数列。所以bn=(1/2)^n-1
(2)Cn=An*bn=(2n -1)*(1/2)^n-1
Tn=1*(1/2)^0 +3*(1/2)^1 +5*(1/2)^2+……+(2n -1)*(1/2)^n-1
1/2Tn=1*(1/2)^1 +3*(1/2)^2 +5*(1/2)^3+……+(2n -3)*(1/2)^n-1 +(2n -1)*(1/2)^n
两式相减得1/2Tn=(1/2)^2+2[(1/2)^1 +(1/2)^2 +(1/2)^3 +(1/2)^n
-1]-(2n -1)*(1/2)^n
=3-4(1/2)^n -(2n -1)*(1/2)^n
=3-(2n +3)*(1/2)^n
所以Tn=6-(2n +3)*(1/2)^n-1
(3) Sn=1/4(An+1)^2 所以Sn=n^2
所以(1/S1)+(1/S2)+(1/S3)+...+(1/Sn)=(1/1^2)+(1/2^2)+(1/3^2)+...+(1/n^2)
第一与二项不动 从第三项开始
(1/3^2)<1/(3^2 -1)=1/2 *(1/2 -1/4)
(1/4^2)<1/(4^2 -1)=1/2 *(1/3 -1/5)
(1/5^2)<1/(5^2 -1)=1/2 *(1/4 -1/6)
……
(1/n-1^2)<1/(n-1^2 -1)=1/2 *[1/(n-2) -1/n]
(1/n^2)<1/(n^2 -1)=1/2 *[1/(n-1) -1/n+1]
(1/1^2)+(1/2^2)+(1/3^2)+...+(1/n^2)<1+1/4+1/2(1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6+……+1/(n-2) -1/n+1/(n-1) -1/n+1)
=5/4+1/2(1/2+1/3-1/n-1/(n+1))
<5/4+1/2 *6/5
=5/3
即(1/S1)+(1/S2)+(1/S3)+...+(1/Sn)<5/3 得证
打这个都打了好久,真的辛苦类
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