Question

已知函数f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)(a>0，a≠1)是区间[0,+∞]上的增函数，求a的取值范围。

大虾能不能把具体的解题过程告诉我，谢谢。悬赏50！

Answer 1

我来回答吧，你应该是高三的吧，我用高三的知识回答，请以后注明
已知函数f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)(a>0，a≠1)
根据指数函数定义，a>0

对函数求导
f(x)'=a^x(a^x-3a^2-1)+a^2x
当f(x)'=0时，f(x)值最大，即
a^x(a^x-3a^2-1)+a^2x=0
a^x(a^x-3a^2-1+a^x)=0
2a^x-3a^2-1=0
x=log(3a^2/2+1/2)
此时进行讨论：
i)a>1时
当x>log(3a^2/2+1/2)时,2a^x-3a^2-1>0,a^x(a^x-3a^2-1)+a^2x>0,即f(x)'>0,
f(x)为增函数
同理x<log(3a^2/2+1/2)时,f(x)'<0,f(x)为减函数
题目为f(x)在[0,+∞]上的增函数，

只有log(3a^2/2+1/2)<0即，3a^2/2+1/2<1,-√3/3<a<√3/3
ii)a<1时
当x>log(3a^2/2+1/2)时,2a^x-3a^2-1<0,a^x(a^x-3a^2-1)+a^2x<0,即f(x)'<0,
f(x)为减函数
同理x<log(3a^2/2+1/2)时,f(x)'>0,f(x)为增函数
题目为f(x)在[0,+∞]上的增函数,都不满足题意，舍去

综上所述：
0<a<√3/3
上述log均是以a为底的，我都以log代替了。

Answer 2

根号3/3<=a<1

令y=a^x
分类讨论：
1）a属于(0,1)
则x在[0,+∞)上增时，y在(0,1]上减。
又f(x)=y(y-3a^2-1) 根据二次函数对称轴分析
得3a^2+1>=2
所以a属于[3分之根号3,1)

2）a属于(1,+∞)
则x在[0,+∞)上增时，y在[1,+∞)上增。
又f(x)=y(y-3a^2-1) 根据二次函数对称轴分析
得3a^2+1<=2
所以a无解

综上，a属于[3分之根号3,1)