Question

已知函数f(x)=sin^2x+sinxcosx+2cos^2x (1) 求函数的最值与最小正周期；（2）求使函数大等于1.5的x的范围

Answer 1

f(x)=sin^2x+sinxcosx+2cos^2x
=1+1/2sin2x+cos^2x
=1+1/2sin2x+1/2(cos2x+1)
=3/2+1/2(sin2x+cos2x)
=3/2+根号2/2(根号2/2sin2x+根号2/2cos2x)
=3/2+根号2/2sin(2x+π/4)

（1）最小正周期：
T=2π/2=π

（2）
f(x)=3/2+根号2/2sin(2x+π/4)≥1.5
根号2/2sin(2x+π/4)≥0
sin(2x+π/4)≥0
2kπ≤2x+π/4≤（2k+1)π
kπ-π/8≤x≤kπ+3/8π （k为自然数）

Answer 2

f(x)=sin^2x+sinxcosx+2cos^2x
=1+0.5sin 2x+cos^2 x
=1+0.5sin 2x+0.5(1+cos 2x)
=1.5+0.5根号2 sin (2x+π/4）

最大值 1.5+0.5根号2 最小值 1.5-0.5根号2 最小正周期 π

f（x）大于等于1.5
0.5根号2 sin (2x+π/4)大于等于0
sin (2x+π/4)大于等于0
2kπ<=2x+π/4<=2kπ+π
kπ-π/8<=x<=kπ+3π/8

Answer 3

sin^2x+sinxcosx+2cos^2x
=(sin^2x+sinxcosx+2cos^2x)/(sin^2x+cos^2x）
=(tan^2x+tanx+2)/(tan^2x+1),【分子分母同除以cos^2x】
设tanx=t t属于（负无穷，正无穷） f(x)=t^2+t+2/t+1