Question

设函数f（x)对任意的x，y∈R，都满足f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，且f（1）=2，

1. 求证f（x）是奇函数 （是f（1）=-2 ），2.请写出一个符合条件的函数，3.证明f（x）在R上是减函数 并求当x∈[-3,3]时，f（x）的最大值与最小值

Answer 1

1.f(x+0)=f(x)+f(0)推出f(0)=0, f(0)=f(x)+f(-x)推出f(x)=-f(-x),因此f(x)是奇函数。
2. f(x)=-2x.
3.设 x_1＜x_2∈R,则x_2=x_1+x_3,这里x_3＞0. 所以f(x_3)＜0.
f(x_2)=f(x_1+x_3)=f(x_1)+f(x_3)＜f(x_1),故f(x)是减函数。
最大值f(-3)=6,最小值f(3)=6

Answer 2

解：1。
设x=y=0
所以 f（0+0）=f（0）+f（0），
即 f（0）=0
设 y=-x
所以 f（x-x）=f（x）+f（-x），
即 f（0）=f（x）+f（-x），
即 f(-x)=-f(x)
所以f（x)在R上是奇函数
2.f(x)=-2x
3.设 x1<x2
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)
=f（x1-x2)
所以f(x1)-f(x2）<0
又因为x＞0时，f（x）＜0
所以f（x）在定义域上是减函数
所以当x取-3时,函数最大f(-3)=3*f(-1)=3*-f(1)=3*-(-2)=6
当x取3时,函数最小f(3)=3*f(1)=-6

有疑问再问,步骤已经很详细了