初中几何证明题
如图:已知∠ABD=∠ADB=15°,∠DBC=45°,∠BDC=30°,证明:△ABC是等边三角形....
如图:已知∠ABD=∠ADB=15°,∠DBC=45°,∠BDC=30°,证明:△ABC是等边三角形.
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3个回答
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一楼“实数集与函数”朋友的解答有误,四个方程实际上只有三个独立的方程,无法解出四个角
二楼“nancynhh ”朋友的解答方法很不错。只是目前大部分初中教材已经没有“四点共圆”,小有遗憾
下面提供一种计算线段长度的证明思路
证明思路:
作BE⊥DA,垂足为E,作CF⊥BD,垂足为F
不妨设BE=1,根据条件,得AB=AD=2,AE=√3
设BF=X,则根据题意有CF=X,DF=√3*X,BC=√2*X
在直角三角形BDE中由勾股定理得:
BE^2+DE^2=BD^2
所以有:(X+√3*X)^2=1^2+(2+√3)^2
解得:X=√2
所以BC=2,而AB=2,∠ABC=60度
所以:△ABC是等边三角形
供参考!JSWYC
二楼“nancynhh ”朋友的解答方法很不错。只是目前大部分初中教材已经没有“四点共圆”,小有遗憾
下面提供一种计算线段长度的证明思路
证明思路:
作BE⊥DA,垂足为E,作CF⊥BD,垂足为F
不妨设BE=1,根据条件,得AB=AD=2,AE=√3
设BF=X,则根据题意有CF=X,DF=√3*X,BC=√2*X
在直角三角形BDE中由勾股定理得:
BE^2+DE^2=BD^2
所以有:(X+√3*X)^2=1^2+(2+√3)^2
解得:X=√2
所以BC=2,而AB=2,∠ABC=60度
所以:△ABC是等边三角形
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最佳证明如下:
过B作BE使∠DBE=30°,交CD于E点,则
AE⊥BD, ∠AED=60°
∴ ∠AED=∠ABC=60°
∴ ABCE 四点共圆
∴∠AEB=∠ACB
∵∠AEB=60°
∴∠ACB=60°
三角形二内角都是60°,即∠ACB=∠ABC=60°∴∠BAC=60°
∴△ABC 为等边三角形 ,证毕。
上楼缪证,譬如,补一个独立方程:
不妨假设∠1≠∠3,
当∠1>∠3时, 则∠1=60°+δ , ∠3=60°-δ,δ≥0,
并令AC,BD交点为M,即 过A作AP使∠BAP=60°,过C作CQ使∠BCQ=60°,
则二对内错角相等,∠PAM=δ=∠QCM,∠APM=75°=∠MQC
∴AP//CQ, AQ//CP
即APCQ 为平行四边形
∴AM=MC
∴在△ABC中△BAM面积=△BCM面积
∵BA×BMsin∠ABM=2△BAM面积, BC×BMsin∠CBM=2△BCM面积
∴BAsin∠ABM= BCsin∠CBM 由∠1>∠3,可得BC>BA,
∴∠ABM>∠CBM, 即由已知得出 15°>45°,显然不成立
∴∠1>∠3 不成立 。
同理,∠1<∠3 时 可推得 ∠ADM>∠CDM, 从而得15°>30°,显然也不成立。
因此 综上分析 可得 ∠1=∠3。
过B作BE使∠DBE=30°,交CD于E点,则
AE⊥BD, ∠AED=60°
∴ ∠AED=∠ABC=60°
∴ ABCE 四点共圆
∴∠AEB=∠ACB
∵∠AEB=60°
∴∠ACB=60°
三角形二内角都是60°,即∠ACB=∠ABC=60°∴∠BAC=60°
∴△ABC 为等边三角形 ,证毕。
上楼缪证,譬如,补一个独立方程:
不妨假设∠1≠∠3,
当∠1>∠3时, 则∠1=60°+δ , ∠3=60°-δ,δ≥0,
并令AC,BD交点为M,即 过A作AP使∠BAP=60°,过C作CQ使∠BCQ=60°,
则二对内错角相等,∠PAM=δ=∠QCM,∠APM=75°=∠MQC
∴AP//CQ, AQ//CP
即APCQ 为平行四边形
∴AM=MC
∴在△ABC中△BAM面积=△BCM面积
∵BA×BMsin∠ABM=2△BAM面积, BC×BMsin∠CBM=2△BCM面积
∴BAsin∠ABM= BCsin∠CBM 由∠1>∠3,可得BC>BA,
∴∠ABM>∠CBM, 即由已知得出 15°>45°,显然不成立
∴∠1>∠3 不成立 。
同理,∠1<∠3 时 可推得 ∠ADM>∠CDM, 从而得15°>30°,显然也不成立。
因此 综上分析 可得 ∠1=∠3。
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该题缺条件,结论不严密,如果∠BAC=45°,一样满足条件
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