Question

函数f( x )的定义域是(0,+∞),且满足f(XY)=f( x )+f( y ),f(1/2)=1

(1)求发f（1）
（2）求f（2），f（4），f（8）
（3）你能猜测出f（2^n）等于多少吗？

Answer 1

解：
(1)
令x=1,y=1
f(1*1)=f(1)=f(1)+f(1)
f(1)=0
(2)
令x=2,y=1/2
f(xy)=f(1)=f(2)+f(1/2)=f(2)+1=0 f(2)=-1
f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=-2
f(8)=f(4*2)=f(4)+f(2)=-2-1=-3
(3)
猜想：f(2^n)=-n
证明：
由(2)结果知，n=1时，f(2^1)=f(2)=-2
n=2时，f(2^2)=f(4)=-2
n=3时，f(2^3)=f(8)=-3
假设当n=k(k∈N+，且k≥3)时f(2^k)=-k
则当n=k+1时
f(2^(k+1))=f(2^k*2)=f(2^k)+f(2)=-k-1=-(k+1)
综上，f(2^n)=-n

Answer 2

1 0
2 -1,-2,-3
3 -n