Question

高一数学题 如果函数f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)(a>0且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围？

可以写出详细过程吗？
答案是根号3/3到1之间

Answer 1

f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)=(a^x)^2-(3a^2+1)a^x

令t=a^x,则f(x)=t^2-(3a^2+1)t是关于t的二次函数,对称轴t=(3a^2+1)/2

若a>1,t=a^x是单调增的(t>=1),要使f(x)在[0,+无穷大)上单调增,则t^2-(3a^2+1)t在[1,+无穷大)上单调增

∴对称轴t=(3a^2+1)/2<=1

∴a^2<=1/3(舍)

若0<a<1,t=a^x是单调减的(0<t<=1),要使f(x)在[0,+无穷大)上单调增,则t^2-(3a^2+1)t在)(0,1]上单调减

∴对称轴t=(3a^2+1)/2>=1

∴a^2>=1/3

∴√3/3<=a<1

综上,a的范围为[√3/3,1)

Answer 2

令t=a^x x≥0 则 t≥1
f(t)=t(t-3a^2-1)=t^2-(3a^2+1)t
要t抛物线在t≥1为增函数 则对称轴t=(3a^2+1)/2≤1
a^2≤1/3
综合
a>0且a≠1得 0<a≤3分之根号3

Answer 3

a大于等于3分之根号3