Question

已知函数F(X)的定义域是(-2,2),函数G(X)=F(X-1)+F(3-2X)

求函数G(X)的定义域
（2）若F(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式G(X)小于等于0的解集

Answer 1

（1）复合函数。 内函数的值域就是外函数的定义域。
则 f（x-1）、f(3-2x)定义在（-2，2）上有意义
则 得 不等式组 -2＜x-1＜2 ①
-2 ＜3-2x＜2 ②
解得、①： -1＜x＜3 ②：2.5＞x＞0.5取交集 2.5＞x＞0.5。

(2) G(x）≤0 即 F(X-1)+F(3-2X) ≤ 0
因为f（x）为奇函数、将F(X-1)、F(3-2X)分别看成是由f（x）在自变量上-1 、+3 得到、不影响函数奇偶性。且 奇+奇=奇 所以 F(X-1)+F(3-2X)为奇函数。
因为 F(x)是减函数、将F(X-1)、F(3-2X)分别看成是由f（x）在自变量上-1 、+3 而得到、不影响 单调性、他们仍在定义域上位减函数。

所以得 F(X-1)+F(3-2X) ≤ 0
F(X-1)≤-F(3-2X)
F(X-1)≤F(2X-3) （这一步利用奇函数性质。）
x-1 ≥ 2x-3 （利用 减函数性质）
x≤2

从 F(X-1)≤F(2X-3) 到 x-1 ≥ 2x-3 利用减函数性质的可逆性：

即： 若x1＞x2 而 f（x1）＜ f（x2）则f（x）为减函数。反之成立。

若f（x）为减函数、则 当 f（x1）＜ f（x2）时、
x1＞x2