Question

数学函数、帮帮忙吧、谢谢谢谢、、

已知二次函数f(x)=ax2+bx,f(x+1)为偶函数，函数f(x)的图像与直线y=x相切
（1）求f(x)的函数解析式
（2）已知k取值范围为[2/3，+∞），则是否存在区间[m,n](m＜n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为]km,kn]?若存在，请求出区间[m,n];若恰好不存在，请说明理由。
《谢谢各位大哥大姐我们今天的作业马上要交的请尽快帮忙一下呐、不胜感激！！！》

Answer 1

解：

(1)

f(x)=ax²+bx,f(x+1)为偶函数,则

f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)=ax²+(2a+b)x+(a+b)为偶函数，则

a(-x)²+(2a+b)(-x)+(a+b)=ax²+(2a+b)x+(a+b)

∴2a+b=0……①

f'(x)=2ax+b，当f'(x)=1时，x=(1-b)/(2a)，

即x=(1-b)/(2a)时，f(x)=(1-b)/(2a)，

代入f(x)解得

b=1……②

∴a=-1/2

∴f(x)=(-1/2)x²+x

(2)

f(x)对称轴是x=1，开口向下，最大值为1/2

假设存在[m,n]

1)若对称轴x=1在[m,n]内，则

最大值为kn=1/2,n=1/(2k)∈(0,3/4]，即区间[m,n]右端点在对称轴左边，不成立，舍去

2)当m≥1时，f(x)单调递减，k＞0，kn＜km,不可能成立，舍去

3)当n≤1时，f(x)递增，k＞0，可能成立

此时f(x)=kx，有两个根m和n

(-1/2)x²+(1-k)x=0

x²+2(k-1)x=0

∴两个根分别是x=0和x=2-2k

k≥2/3，得2-2k≤2/3

所以存在，不放令k=2/3，则m=0,n=2/3

谢谢