Question

高三数学高手进！！！！

已知函数f(x)=x^2+2x+1,若存在实数t，当X∈〔1,m〕时，f(x+t)≤x恒成立，则实数m的最大值为？

Answer 1

因为 f(x+t)<=x恒成立,可得f1(x)=x^2+(2t+1)x+(t+1)^2<=0b^2-4ac>=0 可得：t<=-3/4 (1)因为抛物线开口向上且在[1,m]范围内<=0所以根x1<=1 即f1(1)<0，得-3<=t<=-1 x2>=m x2=[-2t-1+根号(-4t-3)]/2>=m因为[-2t-1+根号(-4t-3)]/2 是减函数，t最小时m最大所以t=-3代入得 m<=4 所以m最大值为4

可用图像求解.作出y=f(x)和y=x的图像.f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.即将y=x2的图像向左平移了1个单位.而f(x+t)是将此图像又向左或向右平移了.但如果要满足f(x+t)≤x.则y=f(x)的图像必须向右平移(t＜0)才可以满足.如果向左移就是f(x+t)＞=x恒成立了要使当x∈〔1.m〕时.f(x+t)≤x恒成立.就必须向右平移使f(x+t)的图像有一段在y=x图像的下方.向右一点一点平移y=f(x+t).发现当f(x+t)与y=x相交的左交点横坐标x为1时.其右交点距x=1最远.就是m能取得最大值.经此分析.问题比较简单了.左交点根据y=x可知坐标为(1.1).f(x+t)=(x+t)2+2(x+t)+1=x2+(2t+2)x+(t2+2t+1).代入x=1.y=1.解得:t=-3.所以:y=f(x+t)=f(x-3)=(x-2)2.与y=x联立.解得:另一交点为(4.4).所以:m 的最大值为4.