Question

一道高一函数题

若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)*f(b),且当x小于0时，f(x)大于1.
（1）求证；f(x)大于0；
（2）求证；f（x）为减函数；
（3）当f（4）=1/16时，解不等式f(x-3)*f(5-x平方)小于等于1/4.

Answer 1

f(x)不等于0 当 x>0时
f(x/2+x/2)=f(x)=f(x/2)f(x/2)=f(x/2)^2>0
当x=0时 f(0)=f(0)^2 f(0)=1
所以f(x)>0
x1 x2是属于函数的定义域 且 x1<x2
设 x2-c=x1 c 是正数
f(x2-c)=f(x1)=f(x2)f(-c)
很显然 f(-c)>1 所以 f(x1)/f(x2)=f(-c)>1
所以 f(x1)>f(x2)
所以函数是减函数

f(2+2)=f(4)=f(2)^2=1/16 f(2)=1/4
f(x-3)*f(5-x^2)=f(x-3+5-x^2)<=f(2)
-x^2+x+2>=2 0<=x<=1