Question

在直线x-y+9=0上任取一点P，过点P以椭圆x^/12+y^/3=1的焦点为焦点做椭圆

在直线x-y+9=0上任取一点P，过点P以椭圆x^/12+y^/3=1的焦点为焦点做椭圆
1）P点在何处时，所求椭圆的长轴最短
2）求长轴最短时的椭圆方程
椭圆方程中的x 和 y 是平方

Answer 1

解：
由题意知：c＝3。
故可设椭圆方程为：
x^2/a^2+y^2/(a^2-9)=1 (a＞3)
联立方程组：
x^2/a^2+y^2/(a^2-9)=1
x-y+9=0
消去y得：
(2a^2-9)x^2+18a^2x+90a^2-a^4=0.... *
∵直线与椭圆有公共点
∴△=(18a^2)^2-4(2a^2-9)(80a^2-a^4)≥0，
解得a^2≤9或a^2≥45
∵a＞3
∴a^2≥45，即a≥3√5
则长轴最短为2a=6√5 ，
所求椭圆方程为x^2/a^2+y^2/(a^2-9)=1
当a=3 时，
由方程*可求得
x=-5，
代入直线l方程可求得y=6，
即点P坐标为(-5，4)。