Question

如图在正三角形ABC中 DE分别是BC AC上一点 AE=CD AD与BE交于点F AF=½BF 求证CF⊥BE

Answer 1

证明：
思路：取BF中点M，连接AM。
先证：△ABE≌△CAD==＞∠ABE=∠CAD，BE=AD；
再证：△AME≌△CFD==＞∠AME=∠CFD；
再根据各角的关系推出∠BFD+∠CFD=90°，进而推出CF⊥BE;
以下为具体证明过程：
△ABE和△CAD中，∠EAB=∠DCA=60°，AB=CA，AE=CD
∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴∠ABE=∠CAD，BE=AD，∠AEB=∠ADC
∵AF=BF/2，∴FD=AD-AF，ME=BE-BM，M为BF中点，
∴ME=FD，又∵AE=CD,∠AEB=∠ADC
∴△AME≌△CFD（SAS）
∴∠FCD=∠MAE，∠AME=∠CFD

∵AF=MF，∴∠AFE=2∠AME=2（∠ABM+∠BAM）
而∠BAE=∠BAM+∠MAF+∠FAE=∠BAM+∠AME+∠FAE=∠BAM+（∠ABM+∠BAM）+∠ABM=2（∠ABM+∠BAM）
∴∠AFE=∠BAE=60°，∠AME=∠ABM+∠BAM=1/2∠BAE=30°
又∠BFD=∠AFE=60°，∠CFD=∠AME=30°
∴∠BFC=∠BFD+∠CFD=90°
∴CF⊥BE