Question

高二椭圆

椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆相交于
A、B两点。若∠AF1F2=60°，且向量AF1*向量AF2=0，则椭圆离心率为多少？

Answer 1

向量AF1*向量AF2=0，故向量AF1⊥AF2，
△AF1F2是RT△，
|AF1|+|AF2|=2a,
(|AF1|2+|AF2|)^2=4a^2,(1)
根据勾股定理，
|AF1|^2+|AF2|^2=|F1F2|^2,
|F1F2|=2c,
|AF1|^2+|AF2|^2=4c^2,(2)
对比（1）和（2）式，
2|AF1|*|AF2|=4a^2-4c^2,（3）
<AF1F2=60度，
|AF1|=|F1F2|cos60°=2c|/2=c，
|AF2|=|F1F2|*sin60°=√3c，
代入（3）式，
2*c*√3c=4a^2-4c^2,
2a^2-2c^2=√3c^2,
两边同除以a^2,
2-2(c/a)^2=√3(c/a)^2,
e=c/a,
e^2(2+√3)=2,
e^2=√(4-2√3)=√(√3-1)^2,
∴e=√3-1.