Question

高一数学题，急！要详解

函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则
A.f（x）是偶函数 B.f（x）是奇函数 C.f（x）=f（x=2） D.f（x+3）是奇函数

Answer 1

解答：满足f(x+1)与f(x-1)都是奇函数的f(x)有f(x)=sin(πx)和f(x)=cos(πx/2).上面所举的2个特例一奇一偶,都符合题意，所以A和B都错. 他们都关于(-1,0)和(1,0)这两个点对称.

①f(x+1)是奇函数→f(-x+1)=-f(x+1)
②f(x-1)是奇函数→f(-x-1)=-f(x-1)

由①②得：
-f(x)=-f[(x+1)-1]=f[-(x+1)-1]=f(-x-2)
f(x)=-f(-x-2)=-f[(-x-3)+1]}=f[-(-x-3)+1]=f(x+4)
只能推出f(x)=f(x+4),故C选项“f(x)=f(x+2)”错.

③f(x+3)=f[(x+2)+1]=-f[-(x+2)+1]=-f[(-x)-1]=f(x-1)
④-f(-x+3)=-f[-(x-2)+1]=f[(x-2)+1]=f(x-1)
由③④可知f(-x+3)=-f(x+3)，故D选项“f(x+3)是奇函数”对.

Answer 2

解：满足f(x+1)与f(x-1)都是奇函数的f(x)有f(x)=sin(πx)和f(x)=cos(πx/2).上面所举的2个特例一奇一偶,都符合题意，所以A和B都错. 他们都关于(-1,0)和(1,0)这两个点对称.
又因为①f(x+1)是奇函数得f(-x+1)=-f(x+1)
且f(x-1)是奇函数得f(-x-1)=-f(x-1)
由上二式得：
-f(x)=-f[(x+1)-1]=f[-(x+1)-1]=f(-x-2)
f(x)=-f(-x-2)=-f[(-x-3)+1]}=f[-(-x-3)+1]=f(x+4)
只能推出f(x)=f(x+4),故C选项“f(x)=f(x+2)”错.
同理③f(x+3)=f[(x+2)+1]=-f[-(x+2)+1]=-f[(-x)-1]=f(x-1)
④-f(-x+3)=-f[-(x-2)+1]=f[(x-2)+1]=f(x-1)
由③④可知f(-x+3)=-f(x+3)，所以D选项“f(x+3)是奇函数”对.