Question

高数问题 已知f(x)在x=0处连续，则a＝

题目如图，不太会算cosx^(1/x^2)的极限，求解答过程

Answer 1

lim(x->0) (cosx)^(1/x^2)

=lim(x->0) [1+(cosx-1)]^[ 1/(cosx-1) * (cosx-1)/x^2 ]

=lim(x->0) {[1+(cosx-1)]^[1/(cosx-1)]}^ [(cosx-1)/x^2 ]

 ∵lim(x->0) {[1+(cosx-1)]^[1/(cosx-1)]} = e

lim(x->0) [(cosx-1)/x^2]=lim(x->0) [(-x^2/2)/x^2]= -1/2

=e^(-1/2)

∵ 在x=0处连续，则： lim(x->0) (cosx)^(1/x^2) = f(0)

∴ a = e^(-1/2)。

和差化积 

sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] 。

sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] 。

cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] 。

cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] 。

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB。

Answer 2

因为f（x）在x=0连续
所以
a=lim(x->0) (cosx)^(1/x^2)
=lim(x->0)e^(ln（cosx）/x^2)
=e^lim(x->0)(ln（cosx）/x^2) 关键在这，这里可以吧lim移到指数上去
ln（cosx）/x^2可以用洛必达
a=e^lim(x->0)(ln（cosx））’/（x^2)’=e^lim(x->0)(（-1/2cosx)*(sinx/x))=e^-1/2

前面两位的解答未免不够严谨和简练清晰。

Answer 3

由连续性，a就是cosx^(1/x^2)的极限（x趋于0+）
容易知道，cosx^(1/x^2)在0的一个右领域中是非负的，所以可以对它求对数。
由于对数函数的连续性，ln a=(1/x^2)*ln cos x
ln cos x/x^2是0/0型的极限，由洛必达法则，它的极限等于上下求导后的极限：
lim(x->0+)（ln cos x/x^2）=lim(x->0+)（-tan x/2x）
lim(x->0+)（-tan x/2x）又是0/0型的极限，再次使用洛必达法则，上下求导取极限：
lim(x->0+)（-tan x/2x)=lim(x->0+)(（-1/(cos x)^2)/2)=-1/2
所以，ln a=-1/2。即得答案。

Answer 4

lim(x->0) (cosx)^(1/x^2)

=lim(x->0) [1+(cosx-1)]^[ 1/(cosx-1) * (cosx-1)/x^2 ]

=lim(x->0) {[1+(cosx-1)]^[1/(cosx-1)]}^ [(cosx-1)/x^2 ]
∵lim(x->0) {[1+(cosx-1)]^[1/(cosx-1)]} = e
lim(x->0) [(cosx-1)/x^2]=lim(x->0) [(-x^2/2)/x^2]= -1/2
=e^(-1/2)

∵ 在x=0处连续，则： lim(x->0) (cosx)^(1/x^2) = f(0)
∴ a = e^(-1/2)

Answer 5

教材的答案