Question

请帮我用向量法接一下这个题，一定要过程！谢谢

在正三棱柱中底面ABC的边长为2a，侧棱AA1=2a，M,N分别为AA1,BC的中点，求直线MC1与平面MNB所成角的正弦值。
不要用体积代换，要用向量法！！我算了好半天就是算不得答案，急求高手帮忙！！
差点忘记悬赏了……罪过

Answer 1

如图做一条线C1D与A1C1垂直   建立空间直角坐标系

A1（2a,0,0)  M (2a,0,a) B(√3 a,a,2a)  N (√3/2 a,a/2,2a)

 MC1 (-2a,0,-a)  MN((√3/2  -2)a ,a/2.a)  NB(√3/2 a,a/2,0)

设平面MNB的法向量是n  (x,y,z)

(√3/2  -2)a x +a/2y+az=0

√3/2 ax+a/2y=0

令y=1  则 x=-(√3)/3  z=(2√3)/3

法向量是n  (-(√3)/3,1,(2√3)/3)

设MC1与平面MNB所成角是θ

sinθ=|cos<n,MC1>|=[2(√3)a/3 -(2√3)a/3 ]/|n||MC1|

                 =0

Answer 2

方便起见，设正三棱柱的所有棱长均为2.(省略a，不影响题意，你可以添上).

以C1为坐标原点，以A1B1上的高为x轴，以C1C为z轴，建立空间直角坐标系.
由正三棱柱性质及题意可得，
C1(0，0，0)，M(√3，-1，1)，B1(√3，1，0)，N(√3/2，1/2，2)，

向量MB=(0，2，-1)，向量MN=(-√3/2，3/2，1)，
设平面MNB1的一个法向量为向量n=(x，y，z)，
则由向量n•向量MB1=0，及向量n•向量MN=0，
得2y-z=0，且(-√3)x/2+3y/2+z=0，
令y=1，得z=2，x=(7√3)/3.
∴平面MNB1的一个法向量为向量n=((7√3)/3，1，2)，

向量C1M=(√3，-1，1)，向量n=((7√3)/3，1，2)，
|向量C1M |=5，|向量n |=(8√3)/3，
向量C1M•向量n=8，
∴cos<向量C1M，向量n >=(√3)/5，
由图可知，直线MC1与平面MNB1所成的角的正弦值
等于向量C1M与向量n的夹角的余弦值，
∴直线MC1与平面MNB1所成的角的正弦值为(√3)/5.