Question

帮我做一下矩阵的题吧

设M 是2x2对称的实数矩阵.其两个特征值λ0和λ1,
1)如果其两个特征值均为正，证明，对于任何二维向量x, 0≤xTMx≤ (max(λ0, λ1))xTx. 2)如果一个特征值为0，证明存在不为0的向量x，满足Mx = 0. 3)如果特征值一负一正，证明存在不为0的向量x,满足xTMx = 0 4)如果对于任何x, 有xTMx>0，则称M是正有限矩阵，如果M是对称的、实数的、且是正有限矩阵，那么其特征值有什么特点？

Answer 1

定义二元函数f(x)=x^{T}Mx，则易知它是连续的

1）存在正交阵A，使得A^{T}MA=diag{λ0, λ1}，对所有的二维向量x，由A的可逆性，存在二维向量y,满足Ay=x，则f(x)=f(Ay)=x^{T}A^{T}MAx=λ0x1^{2}+λ1x2^{2}≤ (max(λ0, λ1))(x1^{2}+x2^{2})= (max(λ0, λ1))xTx

2)取0的特征向量即可

3)不妨设λ0<0，λ1>0，则取λ0的特征向量x0和λ1的特征向量x1，并且不妨设原点不在x0与x1的连线上，有f(x0)=x0^{T}Mx0=λ0x0^{T}x0<0，f(x1)=x1^{T}Mx1=λ1x1^{T}x1>0，则由二元连续函数的零点存在定理，可知存在不为0的向量x，使得f(x)=x^{T}Mx=0.

4）M实对称阵，对于任何x, 有x^{T}Mx>0，说明M是正定阵，从而它的特征值全大于0

Answer 2

按这里，x应该是列向量
1)对实对称阵M，存在正交阵T，把M化为主对角线上全是其特征值的对角阵，则对于任何二维向量x，xTMx=y1*λ0^2+y2*λ1^2≤ (max(λ0, λ1)*（y1^2+y2^2）=(max(λ0, λ1))xTx
2)如果一个特征值为0，则说明M的秩＝1，那么线性方程组Mx = 0一定有非零解x
3）若特征值为一正一负，因为对实对称阵M，存在正交阵T，把M化为主对角线上全是其特征值的对角阵，即T'MT为主对角线上全是其特征值的对角阵，则Y'T'MTY＝x1*λ0^2+x2*λ1^2=0，（其中Y'为列向量,X'=(x1,x2)',X'=Y'T'）
4）特征值一定为正实数