Question

已知二次函数F(X)=AX^2+BX+C，若F(0)=0，且F(X+1)=F(X)+X+1，则F(X)的解析式为

Answer 1

取x=0得到f(1)=f(0)+1
取x=1得到f(2)=f(1)+2
取x=2得到f(3)=f(2)+3
......
取x=x-1得到f(x)=f(x-1)+x
将上面所有等式相加得到
f(x)=f(0)+1+2+3...+x
f(x)=f(0)+(1+x)x/2
又因为f(0)=0
所以f(x)=(1+x)x/2

Answer 2

F(0)=0得C=0.
F(X+1)=F(X)+X+1得A(X+1)^2+B(X+1)=AX^2+BX+X+1.
X的同次项系数相等，2A+B=B+1,A+B=1. 得A=B=1/2.
故F(X)=X(X+1)/2.

Answer 3

F(0)=0,c=0
F(X+1)-F(X)=X+1
A(X^2+2X+1)+BX+B-AX^2-BX=2AX+A+B=X+1,A=1/2,B=1/2
F(X)=1/2X^2+1/2X