Question

高一数学简答题

19.已知函数y=x+a/x有如下性质：如果常数a>0,那么该函数在（0，√a】上是减函数，在【√a，+∞）上是增函数，写出f(x)=X+4/x（X>0)的增区间，并用定义证明。

Answer 1

增区间【2，正无穷）
设2小于等于x1<x2
f(x2)-f(x1)=x2+4/x2-x1-4/x1
=(x2-x1)+4(x1-x2)/x1x2
=(x2-x1)[1-4/x1x2]
因为2小于等于x1<x2
所以x2-x1>0 1-4/x1x2>0
所以f(x2)-f(x1)>0
即f(x)在【2，正无穷）是增函数

Answer 2

f(x)=x+4/x的增区间是[2，+无穷）
证明：设x1>x2>=2.
f(x1)-f(x2)=(x1+4/x1)-(x2+4/x2)
=(x1-x2)+4(x2-x1)/(x1x2)
=(x1-x2)[1-4/(x1x2)]
由于x1-x2>0,x1x2>4,0<1/x1x2<1/4
所以，1-4/(x1x2)>0
即f(x1)-f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
所以，f(x)在[2，+无穷）上是增函数。