Question

求不定积分∫ dx/(a+cosx)

Answer 1

如图

来源：常用积分表

Answer 2

设： t = tan(x/2) , x = 2arctant , dx = 2dt/(1+t^2) ,cosx = (1-t^2)/(1+t^2)

I=∫ dx/(a+cosx)
= ∫ 2dt/(a(1+t^2)+(1-t^2)
=2∫dt/[(a-1)t^2+(a+1)]

① a<1 时：
I = 2/(a+1) ∫dt /{ 1- [t√[(1-a)/(a+1)]^2 }
= 2/√(1-a^2) ∫d[t√[(1-a)/(a+1)] /{ 1- [t√[(1-a)/(a+1)]^2 }
= 1/√(1-a^2) ∫d[t√[(1-a)/(a+1)] { 1/{ 1 - [t√[(1-a)/(a+1)] }1/{ 1+ [t√[(1-a)/(a+1)] }
= 1/√(1-a^2) ln|(1 - [t√[(1-a)/(a+1)])/(1+[t√[(1-a)/(a+1)])| + C

I = 1/√(1-a^2) ln|[√(a+1) - tan(x/2)√(1-a)] /[√(a+1) + tan(x/2)√(1-a)] | + C

② a>1 时：
I = 2/(a+1) ∫dt/{[(a-1)/(a+1)]t^2+1}
= 2/√(a^2-1) ∫d[√[(a-1)/(a+1)t] /{(√[(a-1)/(a+1)t)^2+1}
= 2/√(a^2-1) arctan[√[(a-1)/(a+1)t] + C

I = 2/√(a^2-1) arctan[√[(a-1)/(a+1)tan(x/2)] + C

Answer 3

刚看错了题目，这个答案就正确了。这个要分类讨论的。

Answer 4

2/(a+1)[(a+1)*(a-1)]1/2arctan{[(a-1)*(a+1)]1/2*tan(x/2)}+C

其中1/2是指他的二次方根，其他都正常运算