Question

急！一道高中数学题，详细解释(字不太好，请谅解）

Answer 1

(1)
f(x)=(a*2^x-1/a^2)/(2^x+1).
奇函数f(-x)=-f(x)==>(a*2^(-x)+1/a^2)/(2^(-x)+1)=-(a*2^x-1/a^2)/(2^x+1)得a=1.
y=f(x)=(2^x-1)/(2^x+1)==>2^x=(1+y)/(1-y)==>x=log[2](1+y)/(1-y).
故反函数为f^(-1)(x)=log[2](1+x)/(1-x), 定义域-1<x<1.
(2)
g(x)定义域(1+x)/k>0, 且g(x)=log[2]((1+x)/k)^2。
当1/2<=x<=2/3时，f^(-1)(x)<=g(x)恒成立，
即 (1+x)/(1-x)<=((1+x)/k)^2,
==> 1/(1-x)<=(1+x)/k^2,
==> k^2<=1-x^2恒成立.
而 5/9<=1-x^2<=3/4,
故 0<k<sqrt(5)/3.

Answer 2

解：f(2x)=(a2^2x-a^-2)/(2^x+1),所以f(x)=(a2^x-a^-2)/(2^x+1),而f(0)=0,所以a=1.所以f(x)=(2^x-1)/(2^x+1),反函数为y=log(2)(1+x）/(1-x),-1<x<1