Question

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:在定义域内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立

1.函数f(x)=2^x是否属于集合M?说明理由

2.设函数f（x）=lg（a/（（x^2）+1））属于M，求a的取值范围

Answer 1

解：因为f(x)=2^x时，f(x0+1)=2^（x0+1），f(x0)=2^x0,f(1)=2
若f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立，则2^（x0+1）=2^x0+2， 解得x0=1
所以函数f(x)=2^x属于集合M

2 因为函数f（x）=lg（a/（（x^2）+1））属于M，有 f(x0+1)=f(x0)+f(1)
即 lg（a/（（（x0+1）^2）+1））=lg（a/（（x0^2）+1））=lg（a/2）
化简得：a=2(x0^2+1）/（x0^2+2x0+1) （由真数大于0知a大于0）
由判别式法或 导数法可求得0＜a＜3+√13