Question

已知函数f（x）=2x+3，g（x）=kx+b（k≠0），且f【g（x）】=g【f（x）】对任意的x恒成立

求b，k的关系式
当x∈【-1,1】时，g（x）的最大值比最小值大2，求b，k的值

Answer 1

f(x)=2x+3，g(x)=kx+b，（k≠0），

f[g(x)]=2g(x)+3=2(kx+b)+3=2kx+2b+3；
g[f(x)]=kf(x)+b=k(2x+3)+b=2kx+3k+b，

∵f[g(x)]= g[f(x)]对任意x恒成立，
∴2kx+2b+3=2kx+3k+b对任意x恒成立，
得，2b+3=3k+b，
∴3k-b=3，
即k，b的关系式为3k-b=3，（k≠0）.

g(x)=kx+b=kx+3k-3，(k≠0)，-1≤x≤1.
当k>0时，g(x)的最大值为g(1)=4k-3，最小值为g(-1)=2k-3，
由题意，4k-3=2k-3+2，
得k=1，经检验符合题意.
此时，b=3k-3=0；

当k<0时，g(x)的最大值为g(-1)=2k-3，最小值为g(1)=4k-3，
由题意，2k-3=4k-3+2，
得k= -1，经检验符合题意.
此时，b=3k-3= -6.

综上，k=1，b=0；或k= -1，b= -6.

Answer 2

f【g（x）】=g【f（x）】对任意的x恒成立
2[kx+b]+3=k(2x+3)+b
整理得：2kx+2b+3=kx+3k+b

2b+3=3k+b
即3k-b=3

若k>0,g（x）在【-1,1】递增，g(x)max=k+b,g（x)min=-k+b
k+b-(-k+b）=2k=2,得k=1，可求b=0
若k<0,g（x) 在【-1,1】递减，g(x)max=-k+b,g（x)min=k+b
-k+b-(k+b）=-2k=2,得k=-1，可求b=-6

综上：b=-6，k=-1；或b=0，k=1

Answer 3

f[g(x)]=2g(x)+3
=2(kx+b)+3
=2kx+2b+3
g[f(x)]=kf(x)+b
=k(2x+3)+b
=2kx+3k+b

由f[g(x)]=g[f(x)]得：
2kx+2b+3=2kx+3k+b
即：b=3(k-1)

故g(x)=kx+3(k-1)
g(-1)=-k+3(k-1)=2k-3
g(1)=k+3(k-1)=4k-3

1. 假设k<0,g(x)单调递减
则最大值为g(-1)
最小值为g(1)
即 g(-1)-g(1)=(2k-3)-(4k-3)=-2k=2
得 k=-1<0 此时 b=3(k-1)=-6
2. 假设k>0,g(x)单调递增
则最大值为g(1)
最小值为g(-1)
即 g(1)-g(-1)=(4k-3)-(2k-3)=2k=2
得 k=1>0 此时 b=3(k-1)=0

Answer 4

(1)∵f（x）=2x+3，g（x）=kx+b（k≠0），f【g（x）】=g【f（x）】
∴f（kx+b）=g（2x+3）+b
∴2（kx+b)+3=k（2x+3）+b
解得b=3k-3
(2）由上可得g（x）=kx+3k-3
∴-1=-k+3k-3 解得k=1
∴b=0

Answer 5

b=3k-3,
b=0 k=1或b=-6 k=-1