Question

如图已知在圆O中,弦AD.BC的延长线交于点P，且BC=CP，C是BD弧的中点。求证，AB是圆O的直径

如图已知在圆O中,弦AD.BC的延长线交于点P，且BC=CP，C是BD弧的中点。求证，AB是圆O的直径

Answer 1

连接线段OC，线段BD，OC与BD相交于点Q，因为C是弧BD的中点，且O是圆心，所以，OC垂直BD,且平分BD，线段BD中点是Q，又,BC=CP，故QC是三角形BDP的中位线，所以QC平行DP，又QC是OC的一部分，DP是AP的一部分，AD是AP的一部分，所以OC平行AD,推出AD垂直BD,从而证出AB是圆O的直径。

OK

连接AC;做CE⊥AB,CF⊥PA,分别于E,F
∵C是弧BD中点
∴∠PAC=∠BAC;
∴CE=CF;
∵BC=CP;
∴RT△PFC全等于RT△BEC
∴∠APC=∠ABC
∴AP=AB
∴AC⊥PB
∴AB是直径

Answer 2

连接BD
因为C是弧BD的中点，
所以在三角形BDC中
BC=CD 因为BC=CP，
所以BC=CD=CP
所以三角形BCD和三角形DCP都是等腰三角形
设角DBC=X 则角BDC=X，
角DCP=2X所以，
2倍的角PDC=180-2X
即角PDC=90-X
所以角BDP=X+(90-X)=90
所以角ADB=90
所以AB是圆的直径
这才是对的嘛