Question

有关数列的难题！！！！！！！！！

已知a>0,且a≠1,数列{An}的前n项和为Sn，它满足条件（An-1)/Sn=1-1/a,数列{Bn}中，Bn=An*lg(A^n)
求：（1）数列{Bn}的前N项和Tn；（2）若对一切n∈N*都有Bn＜B（n+1），求a的取值范围。

Answer 1

（1）由(An-1)/Sn=1-1/a得：Sn=a(An-1)/(a-1)，所以S(n-1)=a[A(n-1)-1]/(a-1)。
两式相减得：An=aA(n-1)。（a＞0,且a≠1）解得：An=A1*a^(n-1)。当n=1时代入(An-1)/Sn=1-1/a中求得A1=a，所以An=a^n (n≥1)。
故Bn=na^nlga (n≥1)，得Tn=(a+2a^2+3a^3+…+na^n)lga，aTn=[a^2+2a^3+3a^4+…+na^(n+1)]lga。于是，(1-a)Tn=(1-a)[a+a^2+a^3+…+a^n-na^(n+1)]lga。
化简得：Tn=[a-(n+1)a^(n+1)+na^(n+2)]lga/(1-a)^2 (n≥1)

（2）对一切n∈N+都有Bn＜B(n+1)，即na^nlga＜(n+1)a^(n+1)lga (n≥1)
分两种情况讨论：
i)当0＜a＜1时，解不等式有a＜n/(n+1)。因为对一切n∈N+成立，而n/(n+1)≥1/2，所以a的取值范围是(0,1/2)。
ii)当a＞1时，解不等式有a＞n/(n+1)。因为对一切n∈N+成立，而n/(n+1)＜1，所以a的取值范围是(1,+∞)。
综合上述，a的取值范围是(0,1/2)∪(1,+∞)。